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吴国平:什么是函数?它拥有什么样的传奇故事?

作者:吴国平   发布时间:2017-09-09 18:27:36   浏览次数:54

 

说到函数,不管大家数学成绩如何,多多少少都会了解一些。函数这一块知识内容可以说是贯穿于整个数学学习,特别是进入初中后,我们就要学到一次函数(正比例函数)、反比例函数、二次函数等等。进入高中、大学就更不用说,出现各种各类的函数,让很多人直呼数学学习不容易啊。

函数的学习非常讲究逻辑系统性,加上整块知识内容抽象性非常强,知识点繁多等等,需要大家具备较好的数学基础,提高综合学习能力,才能从容面对函数的学习。如基于函数的图象、性质、表达式等等,我们如去描述一个函数,即函数的表示方法一般就有四种:解析式法,列表法、图像法和语言描述法。

解析式法是指用含有数学关系的等式来表示两个变量之间的函数关系的方法。

列表法是指用列表的方法来表示两个变量之间函数关系的方法。

图像法是指把一个函数的自变量x与对应的因变量y的值分别作为点的横坐标和纵坐标,在直角坐标系内描出它的对应点,所有这些点组成的图形叫做该函数的图象。

解析式法,列表法、图像法这三种方法是我们最常用表示函数的方法,各有各的优缺点,如解析法的优点是能简明、准确、清楚地表示出函数与自变量之间的数量关系;缺点就是求对应值时往往要经过较复杂的运算,而且在实际问题中有的函数关系不一定能用表达式表示出来。

因此,基于这三种方法优缺点,还有一种表示函数的方法叫语言叙述法,即使用语言文字来描述函数的关系。

很多人看到这里就能感受到函数学习的复杂性,这主要是基于函数本身的特殊性来决定。我们一起看看现代数学对函数作出的定义,大家就能看出一些端倪。

设A,B是非空的数集,如果按照某种确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数y和它对应,那么就称映射f:A→B为从集合A到集合B的一个函数,记作y=f(x),x∈A或f(A)={y丨f(x)=y,y∈B}。

其中x叫作自变量,y叫做x的函数,集合A叫做函数的定义域,与x对应的y叫做函数值,函数值的集合{f(x)丨x∈A}叫做函数的值域,f叫做对应法则。

其中,定义域、值域和对应法则被称为函数三要素,一般书写为 y=f(x),x∈D,若省略定义域,一般是指使函数有意义的集合。

从函数的定义,我们可以看出函数是发生在集合之间的一种对应关系。同时根据“如果按照某种确定的对应关系f”这句话,我们一定要深入去理解发生在A、B之间的函数关系不止且不止一个。

因此,当函数的对应法则可以用解析式表示时候,我们就用解析式来表示;如果函数关系是无法用解析式表示的,那么就需要用图像、列表及其他形式来表示。

数学学习我们讲究的是前因后果的逻辑关系,只有掌握好每一个环节,你才能真正地去理解某一个知识点所蕴含的意义,才能明白掌握基础知识对数学学习是多么重要。就像函数这一概念,并不是凭空产生,它的发展历史就是一部数学历史的缩写,我们一起来简单了解一下。

在17世纪早期,意大利数学家伽俐略在《两门新科学》一书中,就用文字和比例的语言表达函数的关系,这是早期关于变量或函数概念的描述。

在1637年前后,法国数学家笛卡尔在他的解析几何中,已经提到一个变量对另一个变量的依赖关系。可惜的是可能居于当时数学知识有限,笛卡尔没有进一步提炼函数概念。

在17世纪后期,虽然英国物理学家、数学家牛顿和德国哲学家、数学家莱布尼兹建立微积分,为数学发展建立里程碑。可惜的是当时两人以及同时期的数学家都没有人明确函数的一般意义,大部分函数是被当作曲线来研究的。

如在1673年,莱布尼兹首次使用“function”(函数)表示“幂”,但他也只是用该词来表示曲线上点的横坐标、纵坐标、切线长等曲线上点的有关几何量。牛顿在微积分的讨论中,使用的是 “流量”来表示变量间的关系。

在1718年,瑞士数学家约翰·柏努利在莱布尼兹函数概念的基础上,对函数概念进行了定义:“由任一变量和常数的任一形式所构成的量。”他的意思是凡变量x和常量构成的式子都叫做x的函数,并强调函数要用公式来表示。

在1748年,瑞士数学家欧拉在其《无穷分析引论》一书中把函数定义为:“一个变量的函数是由该变量的一些数或常量与任何一种方式构成的解析表达式。”

欧拉最大的进步就是把约翰·贝努利给出的函数定义称为解析函数,并进一步把它区分为代数函数和超越函数,还考虑了“随意函数”。

1755年,欧拉给出了另一个定义:“如果某些变量,以某一种方式依赖于另一些变量,即当后面这些变量变化时,前面这些变量也随着变化,我们把前面的变量称为后面变量的函数。”

可以看出,欧拉的函数定义比约翰·贝努利的定义更普遍、更具有广泛意义,促进当时数学的发展。

在1821年,法国数学家柯西结合前人的函数知识,从定义变量起给出了函数的定义:在某些变数间存在着一定的关系,当一经给定其中某一变数的值,其他变数的值可随着而确定时,则将最初的变数叫自变量,其他各变数叫做函数。

柯西最大贡献就是首先出现了自变量一词,同时指出对函数来说不一定要有解析表达式。可惜的是柯西认为函数可以用多个函数解析式来表示,这就局限了函数的发展。

在1822年,法国数学家傅里叶经过研究发现,某些函数可以用曲线表示,也可以用一个式子表示,或用多个式子表示,从而结束了函数概念是否以唯一一个式子表示的争论,把人们对函数的认识推进了一个新的层次。

在1837年,德国数学家狄利克雷大胆提出,怎么样去建立x 与y之间的关系不是重要事情。在这个基础上狄利克雷拓广了函数概念,他认为:对于在某区间上的每一个确定的x值,y都有一个确定的值,那么y叫做x的函数。

狄利克雷对函数的定义最大特点就是避免了函数定义中对依赖关系的描述,以清晰的方式被所有数学家接受,这也是我们经常说的经典函数定义。

函数的定义真正发生质的变化,是在德国数学家康托创立集合论之后。

美国数学家奥斯瓦尔德维布伦运用“集合”和“对应”的概念给出了近代函数定义,利用集合概念把函数的对应关系、定义域及值域进一步具体化了。从此打破了打破了“变量是数”的极限,变量可以是数,也可以是其它对象 。

在1914年,德国数学家豪斯道夫在《集合论纲要》中用不明确的概念“序偶”来定义函数,其避开了意义不明确的“变量”、“对应”概念。

在1921年,波兰数学家库拉托夫斯基于用集合概念,进一步定义“序偶”,使豪斯道夫的定义更加严谨。

在1930年,现代数学正式对函数定义为:若对集合M的任意元素x,总有集合N确定的元素y与之对应,则称在集合M上定义一个函数,记为f。

元素x称为自变量,元素y称为因变量。

函数关系从被发现到确立,前后经历数百年的时间,前前后后不知多少数学家投入其中,耗费大量的时间精力等等来研究。看到这里,大家觉得自己的数学学习够努力了吗?

函数的英文名是function,翻译成中文的时候,为什么是函数呢?

在1859年,我国清代著名数学家李善兰在翻译《代数学》一书时,把“function”翻译成中文的“函数”。

李善兰认为中国古代“函”字与“含”字通用,都有着“包含”的意思,因此“函数”是指公式里含有变量的意思,具体来说就是:凡是公式中含有变量x,则该式子叫做x的函数。

函数的发展简史就是数学发展历史的一个缩影,每一个在我们今天看来非常简单的数学名词,背后不知道有多少数学家、数学工作者耗费一生投入其中,才有今天的数学成就。

因此,希望大家在数学学习过程中,一定要刻苦努力,讲究方法,坚持不懈,多反思,多思考等等,这样才能慢慢学好数学。







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