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吴国平: 拓扑学到底有多重要? 在数学中占据多高的地位?

作者:吴国平   发布时间:2017-08-31 11:20:05   浏览次数:145

 

如果吴老师给大家一个三角形,你会想到什么?边长、角度、周长、面积、三角形的稳定性等等,这些都是大家很容易想到的地方。

如下图:

现在我们把这个三角形的三边换成橡皮圈,就构成一个用橡皮圈材料组成的三角形。此时,我们对这个橡皮圈进行拉升、扭转等活动,使它形成新的图形,如四边形、圆等等。

如下图:

提醒大家:拉升、扭转等等活动一定要在橡皮圈的弹性范围内,这样就防止橡皮圈被弄断或撕裂,保证橡皮圈的永远是一个“圈”。

我们在拉升或扭转橡皮圈过程中,哪些量可能发生变化呢?如三角形变成四边形,角度、长度、面积、形状等等都很可能发生变化。此时,我们要求大家“摒弃”这些常规度量的性质(如长度、面积、形状等等这些),只考虑物体间的位置关系,而不考虑它们的形状和大小,这时候大家又发现什么?

有些人可能有点迷茫,如果一个几何图形不去研究周长、面积等等这些性质,那剩下还能研究什么?就像这个橡皮圈,不去管拉升、扭转之后可度量的周长、面积等等变化,只专注于橡皮圈本身从三角形到四边形,在连续改变形状后还能保持不变的一些性质,这就是拓扑学。

同一个橡皮圈从三角形到四边形,长度、面积、形状等等改变了,但在拓扑学上不会去管这些变化,拓扑学只研究和关注这个橡皮圈的“圈”上面。

在以前一篇文章当中,本人讲到“七桥问题”如何被解决,以及“七桥问题”对后续数学发展起到哪些影响等等。

18世纪初普鲁士的哥尼斯堡,有一条河穿过,河上有两个小岛,有七座桥把两个岛与河岸联系起来。有个人提出一个问题,一个人怎样才能不重复、不遗漏地一次走完七座桥,最后回到出发点。这个看起来很简单又很有趣的问题吸引了大家,很多人在尝试各种各样的走法,但谁也没有做到。看来要得到一个明确、理想的答案还不那么容易。

欧拉于1736年研究并解决了此问题,把它转化成一个几何问题,他把问题归结为的“一笔画”问题,证明上述走法是不可能的。

欧拉解决这个问题最聪明地方就是把问题简化,他把两座小岛和河的两岸分别看作四个点,而把七座桥看作这四个点之间的连线。欧拉在解决“七桥问题”的时候,他画的图形就不考虑它的大小、形状,仅考虑点和线的个数,这些就是拓扑学思考问题的出发点。

因此,“七桥问题”就简化成,能不能用一笔就把这个图形画出来,这是拓扑学的“先声”。

欧拉在解决“七桥问题”过程中,就是拓扑学最原始的“形态”,只不过在当时这些问题被当做一些孤立的问题来处理,随着拓扑学不断发展,这些问题在拓扑学的形成中占着重要的地位。

类似像“七桥问题”这样拓扑学“先声”的事件,还有“四色问题”、“欧拉定理”等等。“四色问题”等拓扑学经典问题都向我们展现了拓扑学的广泛应用以及它独特的思考方式。

从以上简单的叙述中,大家应该能“粗略”的了解到什么是拓扑学,或拓扑学主要是做什么工作。拓扑学,直接点讲就是研究几何图形或空间在连续改变形状后还能保持不变的一些性质的学科。

大家一定要记住一点:拓扑学只考虑物体间的位置关系而不考虑它们的形状和大小。

拓扑学起初叫形势分析学,是德国数学家莱布尼茨1679年提出的名词。他在17世纪提出“位置的几何学”(geometria situs)和“位相分析”(analysis situs)的说法。

欧拉在1736年解决了七桥问题,给当时数学界引起很多思考;

欧拉在1750年发表了多面体公式;

在1833年,高斯在电动力学中用线积分定义了空间中两条封闭曲线的环绕数。

在1847年,J.B.利斯廷根据希腊文τόπος和λόγος(“位置”和“研究”),提出Topology这一数学名词,即拓扑学。Topology,直译是地志学,最早指研究地形、地貌相类似的有关学科。

之后在19世纪中期,即1851年左右,德国数学家黎曼在复变函数的研究中提出了黎曼面的几何概念,并且强调为了研究函数、研究积分,就必须研究形势分析学,从此数学界开始了现代拓扑学的系统研究。

拓扑学可以说是一门非常抽象的数学分支学科,同时也是几何学一个分支,主要研究几何图形在连续变形下保持不变的性质,现在已成为研究连续性现象的重要的数学分支。但拓扑学与通常的几何学区别非常大,如我们熟悉的平面几何或立体几何研究的对象是点、线、面之间的位置关系以及它们的度量性质,而拓扑学对于研究对象的长短、大小、面积、体积等度量性质和数量关系都没有关系,它只在乎研究几何图形或空间在连续改变形状后还能保持不变的一些性质的学科。

因此,在拓扑学里没有不能拉升、扭转、弯曲的元素,每一个图形的大小、形状都可以改变,这也就是为什么说拓扑最重要的性质就是连通性与紧致性。

看到这里,大家是不是觉得拓扑学很“任性”?

拓扑学经过几代数学人不断努力的发展,它不仅仅是一门研究几何图形在连续变形下保持不变的性质的学科,更是一门在现代数学、自然科学以及社会科学等众多领域中应用极为广泛的数学学科。

拓扑学源于对周围世界的直观观察,把生活数学化、大自然数学化、社会数学化等等,因此,我们学习拓扑学,就相当于以一种独特的视角去将世界数学化。

就像前面讲的对于一个橡皮圈,我们在它的弹性范围之内,任意进行拉长、扭转等等“不人道”行为,但不能弄断或撕裂,要保证橡皮圈永远是一个橡皮圈。那么我们在拉升、扭转等过程中,橡皮圈的长度、形状等发生改变,但在拓扑学里,我们是不会去理会这些度量性质上的变化,拓扑学只专注于橡皮圈的“圈”上。

如我们把一个橡皮制的三角形,进行任意的拉升、扭转,得到另一形状的四边形,我们称这两个图形,三角形和四边形在拓扑上是一种“同胚”或“等价”的结构。广义的来说,在一个物体到另一个物体的对应关系,如果它是不间断,又不重复,则在拓扑上称这个关系在两物体间建立一个“同胚”变换。两个物体间如果存在有这种关系,则称它们为“拓扑同胚”。从这个角度来讲,拓扑学可以说是探讨同胚的拓扑空间所共有的性质的一门学科。一个几何图形的性质,经由一拓扑变换作用后维持不变,该性质称为图形的拓扑性质。

拓扑学完全不同于我们所学的其他数学课程,如高等代数、数学分析、复变函数、解析几何、常微分方程等等。 因此,基于拓扑学这种特殊性,这门课程学起来就会显得非常抽象,要求学习者具有较高的逻辑推理能力和抽象思维能力。

连续性与离散性这对矛盾在自然现象与社会现象中普遍存在着,数学也可以粗略地分为连续性的与离散性的两大门类。拓扑学对于连续性数学自然是带有根本意义的,对于离散性数学也起着巨大的推进作用。例如,拓扑学的基本内容已经成为现代数学工作者的常识。拓扑学的重要性,体现在它与其他数学分支、其他学科的相互作用。拓扑学在泛函分析、实分析、群论、微分几何、微分方程其他许多数学分支中都有广泛的应用。

我们非常熟悉的计算机网络、欧拉定理、曲面、向量场、四色问题、结、覆盖等等,都是拓扑学研究的重要课题。

如计算机网络的拓扑结构是引用拓扑学中研究与大小,形状无关的点、线关系的方法。我们把网络中的计算机、通信设备、工作站、服务器等网络单元抽象为一个“点”,把传输介质(电缆)等抽象为一条“线”,由点和线组成的几何图形就是计算机网络的拓扑结构。

网络的拓扑结构反映出网络中各实体的结构关系,是建设计算机网络的第一步,是实现各种网络协议的基础,它对网络的性能,系统的可靠性与通信费用都有重大影响。

拓扑在计算机网络中即是指连接各结点的形式与方法。

经过长时间的发展,拓扑学由几何学与集合论里发展出来的学科,研究空间、维度与变换等概念。从拓扑学所衍生出来的知识已和近世代数、分析共同成为数学理论的三大支柱。

拓扑学的最简单观念产生于对周围世界的直接观察,直观的说,关于图形的几何性质探讨,不“理会”它们的“度量”性质(长度、角度、周长、面积、体积等等)方面的知识,多数的讨论都是围绕在那些与大小、位置、形状无关的性质上。

拓扑学不仅仅在数学世界发挥重要作用,更在物理学、化学、生物学、语言学等方面起到重要作用。如拓扑学的概念和方法对物理学(如液晶结构缺陷的分类)、化学(如分子的拓扑构形)、生物学(如DNA的环绕、拓扑异构酶)都有直接的应用何影响。

不管是拓扑学在数学当中的重要性有多高,还是它对其他学科所起到的影响力等等,单单是学习拓扑学就可以帮助我们进行高层次的思维锻炼,提高我们的思维高度等等,就值得我们认真去学习拓扑学这一门学科。

大学期间拓扑学的学习,主要分成两部分内容来学习:一般拓扑学和代数拓扑学。

一般拓扑学分为了八章,分别是:

集合论与逻辑、拓扑空间与连续函数、连通性与紧致性、可数性公理与分离公理、Tychonoff定理、度量化定理与仿紧致性、完备度量空间与函数空间、Baire空间和维数论。

代数拓扑学分为了六章,分别是:

基本群、平面分割定理、Seifert-van Kampen 定理、曲面分类、 复叠空间分类、在群论中的应用。

由于篇幅有限,一篇文章不能对拓扑学进行更加细致化的讲解,不到之处,敬请谅解。后续本人将会对拓扑学相关知识内容进行更多“浅薄”的讲解,希望大家喜欢。







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